Теория: Векторы на плоскости

Всё, что нужно знать для задания 2 ЕГЭ по профильной математике

1. Что такое вектор

Определение

Вектор — направленный отрезок, характеризуемый направлением и длиной. Обозначается \(\vec{a}\) или \(\overrightarrow{AB}\).

На координатной плоскости вектор задаётся парой чисел — координатами: \(\vec{a} = (x;\; y)\).

Если вектор задан двумя точками \(A(x_1; y_1)\) и \(B(x_2; y_2)\), то:

\[\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)\]

Коллинеарность

Векторы \(\vec{a}(x_1; y_1)\) и \(\vec{b}(x_2; y_2)\) коллинеарны (параллельны), если:

\[x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\]

Это означает, что один вектор можно получить умножением другого на число.

2. Операции с векторами

Сложение
\[\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2;\; y_1 + y_2)\]
Вычитание
\[\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2;\; y_1 - y_2)\]
Умножение на число
\[k\vec{a} = (kx;\; ky)\]
Линейная комбинация
\[\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} = (\alpha x_1 + \beta x_2;\; \alpha y_1 + \beta y_2)\]

Правило треугольника и параллелограмма

Геометрически сложение выполняется по правилу треугольника: конец первого вектора совмещаем с началом второго, сумма — от начала первого к концу второго.

По правилу параллелограмма: из общей точки строим оба вектора, сумма — диагональ параллелограмма.

3. Длина (модуль) вектора

\[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Длина вектора — это расстояние от начала до конца вектора. Всегда неотрицательна.

Пример: \(|\vec{a}(3; 4)| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

Частая ошибка!

Ученики забывают извлечь корень или путают длину вектора со скалярным произведением. Длина — это одно число (всегда \(\geq 0\)), а не пара координат.

4. Скалярное произведение

Координатная формула

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\]

Пример: \(\vec{a}(5; 4)\), \(\vec{b}(8; -9)\). Тогда \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 \cdot 8 + 4 \cdot (-9) = 40 - 36 = 4\).

Геометрическая формула

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha\]

где \(\alpha\) — угол между векторами. Используется, когда известны длины и угол (например, на рисунке).

Частая ошибка!

Ученики путают две формулы скалярного произведения. Запомните:

  • Даны координаты → используйте \(x_1 x_2 + y_1 y_2\)
  • Дан рисунок (длины и угол) → используйте \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha\)

5. Угол между векторами

\[\cos\alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\]

Угол между векторами всегда берётся от \(0°\) до \(180°\).

6. Перпендикулярность и параллельность

Перпендикулярность (\(\vec{a} \perp \vec{b}\))
\[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\]

Скалярное произведение равно нулю

Коллинеарность (\(\vec{a} \parallel \vec{b}\))
\[x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\]

Определитель матрицы координат равен нулю

7. Коллинеарность и перпендикулярность: критерии и примеры

Коллинеарность

Два ненулевых вектора \(\vec{a}(x_1; y_1)\) и \(\vec{b}(x_2; y_2)\) коллинеарны тогда и только тогда, когда:

\[x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\]

Это условие означает, что один вектор является скалярным кратным другого: \(\vec{b} = k\vec{a}\).

Пример: \(\vec{a}(2; 4)\) и \(\vec{b}(3; 6)\). Проверим: \(2 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 12 - 12 = 0\). Коллинеарны! Действительно, \(\vec{b} = 1{,}5\vec{a}\).

Перпендикулярность

Два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны тогда и только тогда, когда:

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0\]

Пример: \(\vec{a}(1; 7)\) и \(\vec{b}(7; -1)\). Проверим: \(1 \cdot 7 + 7 \cdot (-1) = 7 - 7 = 0\). Перпендикулярны!

Быстрый способ: если \(\vec{a}(x; y)\), то перпендикулярный вектор — \(\vec{n}(-y; x)\) или \(\vec{n}(y; -x)\).

8. Проекция вектора

Проекция \(\vec{a}\) на направление \(\vec{b}\)

\[\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\]

Проекция — это число (может быть отрицательным), показывающее, какая «доля» вектора \(\vec{a}\) направлена вдоль \(\vec{b}\).

Геометрический смысл проекции

Проекция \(\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a}\) — это длина «тени» вектора \(\vec{a}\) на прямую, содержащую вектор \(\vec{b}\), со знаком:

  • Если угол между \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) острый (\(< 90°\)) — проекция положительна
  • Если угол тупой (\(> 90°\)) — проекция отрицательна
  • Если угол прямой (\(= 90°\)) — проекция равна нулю

Пример: \(\vec{a}(3; 4)\), \(\vec{b}(5; 0)\). Тогда \(\vec{a}\cdot\vec{b} = 15\), \(|\vec{b}| = 5\), проекция \(= 15/5 = 3\). Это координата \(x\) вектора \(\vec{a}\) — «тень» на ось \(Ox\).

9. Разложение вектора по базису

Разложение по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор на плоскости можно единственным образом разложить по двум неколлинеарным (не параллельным) базисным векторам \(\vec{e}_1\) и \(\vec{e}_2\):

\[\vec{c} = \alpha\vec{e}_1 + \beta\vec{e}_2\]

Числа \(\alpha\) и \(\beta\) — координаты вектора \(\vec{c}\) в данном базисе.

Пример разложения

Даны \(\vec{a}(1; 0)\), \(\vec{b}(0; 1)\), \(\vec{c}(3; 5)\). Выразить \(\vec{c}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\):

\[\vec{c} = 3\vec{a} + 5\vec{b}\]

Проверка: \(3 \cdot (1; 0) + 5 \cdot (0; 1) = (3; 0) + (0; 5) = (3; 5)\). Верно!

В стандартном базисе \(\vec{i}(1; 0)\), \(\vec{j}(0; 1)\) координаты вектора и есть коэффициенты разложения.

Свойства скалярного произведения

  • \(\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}\) (коммутативность)
  • \(\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\)
  • \((k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})\)
  • \((\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}\) (дистрибутивность)

10. Как решать задание 2

Алгоритм решения

  1. Даны координаты? → Используй формулы напрямую
  2. Скалярное произведение: \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)
  3. Длина вектора: \(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)
  4. Длина суммы: сначала найди координаты суммы, потом длину
  5. Дан рисунок? → Определи координаты по клеточкам или используй \(|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos\alpha\)
  6. Угол между векторами: \(\cos\alpha = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}\)
  7. Не забудь: ответ — ЧИСЛО (целое или десятичная дробь)

11. Типичные ошибки

Ошибка 1: Путают формулы

\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\) — скалярное произведение (ЧИСЛО)

\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\) — длина вектора (тоже число)

НЕ ПУТАТЬ! \(\vec{a} \cdot \vec{b} \neq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\) (если вектора не сонаправлены)

Ошибка 2: Забывают про координаты суммы

\(\vec{a} + 3\vec{b}\): сначала \(3\vec{b} = (3x_2;\; 3y_2)\), потом \(\vec{a} + 3\vec{b} = (x_1 + 3x_2;\; y_1 + 3y_2)\).

ТОЛЬКО ПОТОМ длина! Нельзя складывать длины отдельных векторов.

Ошибка 3: По рисунку — неверные координаты

Считай клеточки внимательно! Вектор из \((0, 0)\) в \((3, 2)\) имеет координаты \((3;\;2)\).

Обращай внимание на направление осей и знаки координат.

Интерактивное векторное поле

Перетаскивайте концы векторов и наблюдайте, как меняются их свойства в реальном времени

Вектор a
(3; 2)
|a|
3.61
Вектор b
(-1; 3)
|b|
3.16
a · b
3
Угол
74.7°

Визуализация операций

Выберите операцию для отображения на чертеже:

Калькулятор векторов

Введите координаты двух векторов и получите все параметры

|a|—
|b|—
a · b—
Угол между a и b—
a + b—
a − b—
|a + b|—
|a − b|—
Перпендикулярны?—
Коллинеарны?—
пр_b(a)—
пр_a(b)—

Банк заданий

25 задач с подробными пошаговыми решениями формата ЕГЭ

0
Решено
25
Всего

Скалярное произведение по координатам

Тренажёр: Скалярное произведение

Быстрая отработка навыка вычисления скалярного произведения по координатам

0
Верно
0
Ошибки
0
Серия
Загрузка...

Тренажёр: Длина вектора a + kb

Вычисляйте длину линейной комбинации векторов

0
Верно
0
Ошибки
0
Серия
Загрузка...

Тренажёр: Реши по рисунку

Определи координаты векторов по рисунку и вычисли ответ — как на ЕГЭ

0
Верно
0
Ошибки
0
Серия
Загрузка...

Быстрые вычисления: 60-секундный спринт

Решайте как можно больше задач за 60 секунд. Скалярное произведение и длина вектора с маленькими координатами.

0
Набрано
60
Секунд
0
Рекорд

Режим экзамена

3 минуты на задачу, как на настоящем ЕГЭ

03:00
Счёт: 0 / 0

Шпаргалка

Все формулы для задания 2 на одном экране

Координаты вектора

\[\overrightarrow{AB} = (x_2 - x_1;\; y_2 - y_1)\]

Длина вектора

\[|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]

Сложение / Вычитание

\[\vec{a} \pm \vec{b} = (x_1 \pm x_2;\; y_1 \pm y_2)\]

Умножение на число

\[k\vec{a} = (kx;\; ky)\]

Скалярное произведение (координаты)

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\]

Скалярное произведение (геометрическое)

\[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha\]

Угол между векторами

\[\cos\alpha = \frac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\;\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\]

Перпендикулярность

\[\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b} = 0\]

Коллинеарность

\[\vec{a} \parallel \vec{b} \iff x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0\]

Проекция

\[\text{пр}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\]

Свойство: квадрат вектора

\[\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2\]

Длина суммы (раскрытие)

\[|\vec{a}+\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2\]